Дві системи, тобто дві сукупності звичайних дійсних чисел або точок, називаються (згідно Кантору) еквівалентними або мають однакове кардинальне число, якщо їх можна поставити у відношення одна до одної таким чином, що кожному числу однієї сукупності відповідає одне і тільки одне певне число іншої. Дослідження Кантора щодо таких сукупностей точок пропонують дуже правдоподібну теорему, яку, незважаючи на напружені зусилля, нікому не вдалося довести. Це теорема:
Кожна система нескінченної кількості дійсних чисел, тобто кожна сукупність чисел (або точок), або еквівалентна сукупності натуральних цілих чисел, 1, 2, 3, ..., або сукупності всіх дійсних чисел і, отже, континууму, тобто до точок прямої; що стосується еквівалентності, можливі лише дві сукупності чисел, зліченна сукупність і континуум.
З цієї теореми одразу випливало б, що потужність континууму є найближчою потужністю до потужності зліченної сукупності. Доказ цієї теореми проклав би новий міст між зліченною сукупністю та континуумом.
Дозвольте мені згадати ще одне чудове твердження Кантора, яке тісно пов'язане зі згаданою теоремою і яке, можливо, пропонує ключ до її доказу. Сукупність дійсних чисел називається упорядкованою, якщо відомо правило, за яким для будь-яких двох чисел цієї сукупності можна встановити, яке з цих чисел передує іншому і яке за ним слідує; при цьому правило має бути таким, що якщо число A передує числу B і число B передує числу C, то число A передує числу C. Природний порядок чисел системи визначається як такий, у якому менше передує більшому. Але, як легко побачити, існує нескінченна кількість інших способів розташування чисел у системі.
Якщо ми подумаємо про певне розміщення чисел і виберемо з них певну систему цих чисел, так звану часткову систему або сукупність (підмножину), ця часткова система також виявиться впорядкованою. Тепер Кантор розглядає особливий вид упорядкованої сукупності, яку він позначає як цілком впорядковану сукупність (множину) і яка характеризується таким чином, що не тільки в самій сукупності, але також і в кожній частковій сукупності існує перше число. Система цілих чисел 1, 2, 3, ... у їхньому природному порядку є, очевидно, цілком впорядкованою сукупністю. З іншого боку, система всіх дійсних чисел, тобто континуум у своєму природному порядку, очевидно, не є цілком впорядкованою. Тому що, якщо ми розглядаємо точки сегмента прямої, за винятком її початкової точки, як нашу часткову сукупність, вона не матиме першого елемента.
Тепер постає питання, чи не можна впорядкувати сукупність усіх чисел іншим чином, щоб кожна часткова сукупність могла мати перший елемент, тобто, чи не можна континуум розглядати як цілком впорядковану сукупність – питання, на яке, на думку Кантора, слід відповісти ствердно. Мені здається найбільш бажаним отримати прямий доказ цього чудового твердження Кантора, можливо, фактично надавши такий порядок чисел, щоб у кожній частковій системі можна було вказати перше число.
Переклад Бачиш С.